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星期日, 3月 03, 2013

[數學邏輯題] 我不知道但你也不知道的生日

前言

邏輯真的好難,什麼消去法的我根本沒學過呀。

題目

老師請兩位同學甲及乙猜他的生日。

老師告訴甲「幾月生」,告訴乙「幾號生」。

已知老師的生日為以下之一。

3/4 , 3/5 , 3,8 , 6/4 , 6/7 , 9/1 , 9/8 , 12/1 , 12/2 , 12/5

甲:「我不知道,但我知道乙一定不知道。」

乙:「我本來的確不知道,但我現在知道了。」

甲:「那我也知道了!」

以下請附理由推論出老師的生日。

推論(目前筆者只有寫一半)

抓「日」不重複的日期

先把可能的生日畫成表格。因為乙的資訊並無法推論出「幾月生」,所以先抓出知道「幾號生」就知道是幾月生的日期。(即橫列只有出現一次的數字)

9/1 12/1
12/2
3/4 6/4
3/5 12/5
6/7
3/8 9/8
刪除「日」不重複的日期所在的月份

因為甲確信「乙一定不知道」,所以知道「幾號生」就能知道「幾月生」的月份,會讓題目敘述的「乙一定不知道」變成「乙可能知道」,所以要消去 6 及 12 兩個月份。

9/1 12/1
12/2
3/4 6/4
3/5 12/5
6/7
3/8 9/8

刪除讓乙不確定「幾月生」的日期

因為乙後來知道是「幾月生」了,所以一定不是有重複的「幾號生」。所以同一日的 3/8 跟 9/8 要消去。(這邊請先忽略乙是不是真的知道幾月幾號生)

9/1 12/1
12/2
3/4 6/4
3/5 12/5
6/7
3/8 9/8

刪除讓甲不確定「幾號生」的日期

因為甲後來也知道是「幾號生」了,所以一定不是有重複的「幾月生」。所以同一月的 3/4 跟 3/5 要消去。

9/1 12/1
12/2
3/4 6/4
3/5 12/5
6/7
3/8 9/8
解答

最後剩下的 9/1 就是解答。其實這問題不是讓你站在甲或乙的立場去猜對方到底不知道哪些,而是要完全看敘述,在知道「甲跟乙知道什麼事」的情況下,消去重複的日期。(大概吧)

延伸題:我不知道但你也不知道的一組數字

老師在 1~99 間,挑了兩個相異的整數數字 a 及 b。

老師告訴甲兩整數的和(a+b)。

老師告訴乙兩整數的積(a*b)。

(※然後接下來的對話完全一樣!)

甲:「我不知道,但我知道乙一定不知道。」

乙:「我本來的確不知道,但我現在知道了。」

甲:「那我也知道了!」

以下請附理由推論出老師挑的數字。

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